Карьеру профессионального игрока Быстров начал в 1984 году, когда он провел свой первый матч за выступавший в ту пору в первой лиге московский «Локомотив», который тренировал Игорь Волчок. Дебют юного защитника получился удачным и уже в следующем сезоне Дмитрий стал основным игроком команды, приняв участие в 33 из 42 матчей сезона.
Сразу после окончания сезона-85 перспективный защитник был призван в ряды Вооруженных сил, автоматически оказавшись в ЦСКА.
Он и предположить не мог, что именно в этом клубе он проведет лучшие годы своей карьеры.
Впрочем, поначалу в основной состав команды, которая в 1987 году после двухлетнего перерыва вернулась в высший дивизион союзного первенства, Быстров попадал редко. Тогдашний тренер красно-синих Юрий Морозов больше доверял Фокину, Галямину, Кузнецову, Колотовкину и Шматоваленко, в связи с чем Дмитрий вынужден был довольствоваться нечастными выходами на замену.
Больше времени на поле защитник стал проводить лишь с приходом в 1988 году в команду нового тренера Сергея Шапошникова, перед которым была поставлена цель вернуть ЦСКА в элиту советского футбола, откуда он вновь благополучно вылетел. С задачей новый рулевой не справился, в конце сезона уступив место Павлу Садырину.
Именно этому человеку Быстров всецело обязан своими дальнейшими успехами. Вместе с Садыриным Дмитрий сначала выиграл чемпионат в первом дивизионе, а затем, в 1990-м, стал серебряным призером уже высшей лиги. Венцом карьеры защитника стал 1991 год, когда он в составе армейского клуба стал последним чемпионом и обладателем Кубка СССР.
Проблемы у футболиста (который, к слову, был одним из трех вместе с Гутеевым и Колесниковым игроков золотого состава красно-синих, кто так и не решился уехать за рубеж) начались в августе 1992-го, когда из ЦСКА ушел Садырин. Геннадий Костылев, взявший курс на омоложение состава, сразу же невзлюбил Быстрова, который вскоре был переведен в дубль.
Впрочем, немалую роль в этом решении сыграли частые нарушения игроком спортивного режима.
Светлым пятном стал 1994 год, когда он сначала при Александре Тарханове, а потом при Борисе Копейкине провел на поле 26 из 30 матчей сезона. Самым ярким для него эпизодом в том году стал красивый гол со штрафного с рикошетом от лужниковской кочки, забитый в финальном матче Кубка России в ворота московского «Спартака».
И все же сезон-95 Быстров решил начать в питерском «Зените», куда вместе с ним перешел еще один старожил красно-синих Валерий Брошин.
Потом были ярославский «Шинник», узбекский «Новбахор», нижегородский «Локомотив», липецкий «Металлург», «Пресня», а закончил защитник свою карьеру в 2003 году в ФК «Обнинск», перейдя на тренерскую работу. Его дебютом на этой стезе стала «Пресня», где он в 2001 году был играющим тренером, а в следующем - помощником Копейкина.
Отыграв полсезона защитником в Обнинске, в августе Быстров был назначен главным тренером команды. Команда последовательно выиграла Кубок МФФ «Золотое кольцо», Кубок России среди любительских коллективов, досрочно завоевав путевку во второй дивизион, первенство МФФ «Золотое кольцо», и, наконец, стала серебряным призером первенства России среди любителей.
