Юрий Нырков начал заниматься футболом в 1936 году, после того как его семья переехала в Москву. В этот год он был принят в детскую команду стадиона юных пионеров, матчи которой проходили на центральном стадионе «Динамо». Чуть позже команда провела товарищеский матч со своими сверстниками, эвакуированными из Испании. Матч завершился победой советских футболистов, за что нарком финансов СССР Чубарь наградил каждого игрока карманными часами, считавшимися в то время настоящей роскошью.

Великая Отечественная война на время оборвала футбольную карьеру Ныркова, который сначала был направлен на строительство оборонительных укреплений под Вязьмой. В мае 1942-го он был призван в ряды Вооруженных сил и был направлен на учебу в Тамбовское артиллерийское училище.

Спустя год в звании лейтенанта Юрий Александрович был направлен в полк самоходной артиллерии, с которым он принял участие во многих боевых операциях.

В январе — феврале 1945-го участвовал в знаменитой операции в районе Кюстрина, когда ночью вражеская территория была освещена множеством прожекторов для ослепления находившихся там войск, и в составе своего полка с боями подошел к Берлину. Закончил же он войну 11 мая на Шпандау-аллее в центре Берлине, в звании старшего лейтенанта и в статусе командира взвода САУ.

После окончания войны Нырков на оккупированной территории организовал спортивную команду, которая в 1946 году без должной экипировки стала победительницей Спартакиады Группы советских оккупационных войск в Германии.

Осенью того же года произошло знаменательное событие. В Группу советских оккупационных войск в Германии приехала команда ЦДКА, в матче с которой Нырков проявил себя с наилучшей стороны. В итоге через год из Москвы прибыл специальный самолет, чтобы доставить его в расположение армейской команды.

С 47-го года Нырков начал выступать за дублирующий состав ЦДКА, а уже в следующем сезоне он вместе с главной командой стал чемпионом и обладателем Кубка СССР. По итогам сезона Юрий Александрович вошел в число 33-х лучших футболистов страны, став лучшим левым защитником чемпионата.

В последующие годы он регулярно попадал в число 33 лучших, при этом став трехкратным чемпионом СССР в составе ЦДКА.

Футбольная карьера футболиста продлилась бы еще дольше, если бы не Олимпиада 1952 года. На Играх в Хельсинки, где впервые принимали участие советские спортсмены, сборная СССР в переигровке уступила футболистам Югославии, с которой у советских властей в то время были довольно прохладные отношения.

После первого матча, в котором была зафиксирована ничья — 5:5, югославы оказались сильнее со счетом 3:1. В Кремле известие о поражении от югославов вызвало настоящий шок. Было принято два постановления: о расформировании многократного чемпиона СССР команды ЦДСА и о лишении нескольких игроков сборной и тренера Бориса Аркадьева звания заслуженных мастеров спорта.

В итоге в сентябре 1952-го Нырков начал играть за команду Калинина, переименованную затем в команду Московского военного округа, а в 1954 году министр обороны пригласил Ныркова в ЦДКА для восстановления славных традиций клуба.

Осенью 1953-го Нырков поступил в Академию бронетанковых войск, которую окончил спустя два года в звании майора. После этого он был назначен на должность начальника штаба танкового батальона и находился на различных командных должностях до 1964 года.

Позже был направлен в Москву в отдел кадров Академии Генерального штаба, а затем с 1965 по 1980 гг. занимал должность заместителя начальника управления. После этого до октября 1989-го Нырков служил начальником управления кадров Главного управления Генерального штаба СССР.

В 1980 году Юрию Александровичу было присвоено звание генерал-майора. Позже он работал председателем Федерации футбола РСФСР и одновременно являлся заместителем председателя Федерации футбола СССР (1990–1991), был председателем комитета ветеранов РФС (1992–1997). До последнего времени он являлся президентом Фонда ветеранов армейского футбола имени Григория Федотова.